Решение дифференциальных уравнений

I. Найти общий интеграл

Задача 1: \( y' = y^2 - \frac{y}{x} \)

Это уравнение Бернулли. Запишем в стандартной форме:

\[ y' + \frac{1}{x}y = y^2 \]

Сделаем замену \( z = y^{1-2} = y^{-1} \), тогда \( z' = -y^{-2}y' \).

Подставим в уравнение:

\[ -y^2z' + \frac{1}{x}y = y^2 \]

Разделим на \( -y^2 \):

\[ z' - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} = -1 \]

Но \( \frac{1}{y} = z \), поэтому:

\[ z' - \frac{1}{x}z = -1 \]

Это линейное уравнение относительно z.

Интегрирующий множитель:

\[ \mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x} \]

Умножим уравнение на \( \frac{1}{x} \):

\[ \frac{1}{x}z' - \frac{1}{x^2}z = -\frac{1}{x} \]

Левая часть является производной:

\[ \frac{d}{dx}\left[\frac{z}{x}\right] = -\frac{1}{x} \]

Интегрируем:

\[ \frac{z}{x} = -\int \frac{1}{x} dx = -\ln|x| + C \]

Умножим на x:

\[ z = -x\ln|x| + Cx \]

Возвращаемся к y:

\[ \frac{1}{y} = -x\ln|x| + Cx \]

Окончательный ответ:

\[ y = \frac{1}{Cx - x\ln|x|} \]

Задача 2: \( \sqrt{4 + y^2} dx - y dy = x^2 y dy \)

Задача 3: \( \sin y dx - x \cos y dy = \sin^2 y dy \)

Преобразуем уравнение:

\[ \sin y dx = x \cos y dy + \sin^2 y dy = (x \cos y + \sin^2 y) dy \]

Разделим переменные:

\[ \frac{dx}{x \cos y + \sin^2 y} = \frac{dy}{\sin y} \]

Это уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными в явном виде.

Попробуем записать его в другом виде:

\[ \sin y dx - x \cos y dy = \sin^2 y dy \]

\[ \sin y dx - x \cos y dy - \sin^2 y dy = 0 \]

Заметим, что левая часть похожа на дифференциал произведения:

\[ d(x \sin y) = \sin y dx + x \cos y dy \]

Преобразуем наше уравнение:

\[ \sin y dx - x \cos y dy = d(x \sin y) - 2x \cos y dy \]

Это не упрощает уравнение. Попробуем другой подход.

Разделим обе части на \( \sin y \):

\[ dx - x \cot y dy = \sin y dy \]

Перенесем все слагаемые с x влево:

\[ dx - x \cot y dy = \sin y dy \]

\[ dx = x \cot y dy + \sin y dy \]

Это линейное уравнение относительно x(y). Запишем в стандартной форме:

\[ \frac{dx}{dy} - \cot y \cdot x = \sin y \]

Интегрирующий множитель:

\[ \mu(y) = e^{\int -\cot y dy} = e^{-\ln|\sin y|} = \frac{1}{\sin y} \]

Умножим уравнение на \( \frac{1}{\sin y} \):

\[ \frac{1}{\sin y} \frac{dx}{dy} - \frac{\cos y}{\sin^2 y} x = 1 \]

Левая часть является производной:

\[ \frac{d}{dy} \left[ \frac{x}{\sin y} \right] = 1 \]

Интегрируем:

\[ \frac{x}{\sin y} = \int 1 dy = y + C \]

Окончательный ответ:

\[ x = (y + C) \sin y \]

II. Решение задачи Коши

Задача 4: \( y' = 1 - y \cdot \tan x; \quad y(0) = 4 \)

Это линейное дифференциальное уравнение. Запишем в стандартной форме:

\[ y' + (\tan x) y = 1 \]

Интегрирующий множитель:

\[ \mu(x) = e^{\int \tan x dx} = e^{-\ln|\cos x|} = \frac{1}{\cos x} \]

Умножим уравнение на \( \frac{1}{\cos x} \):

\[ \frac{1}{\cos x} y' + \frac{\sin x}{\cos^2 x} y = \frac{1}{\cos x} \]

Левая часть является производной:

\[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{y}{\cos x} \right] = \frac{1}{\cos x} \]

Интегрируем:

\[ \frac{y}{\cos x} = \int \frac{1}{\cos x} dx = \int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C \]

Умножим на \( \cos x \):

\[ y = \cos x \cdot \ln|\sec x + \tan x| + C \cos x \]

Используем начальное условие \( y(0) = 4 \):

\[ 4 = \cos 0 \cdot \ln|\sec 0 + \tan 0| + C \cos 0 = 1 \cdot \ln|1 + 0| + C \cdot 1 = 0 + C \]

Отсюда \( C = 4 \).

Решение задачи Коши:

\[ y = \cos x \cdot \ln|\sec x + \tan x| + 4 \cos x \]

Задача 5: \( y - x y' = \sqrt{x^2 + y^2}; \quad y(1) = 3 \)

Преобразуем уравнение:

\[ y - x y' = \sqrt{x^2 + y^2} \]

\[ x y' = y - \sqrt{x^2 + y^2} \]

\[ y' = \frac{y}{x} - \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x} = \frac{y}{x} - \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \]

Это однородное уравнение. Сделаем замену \( u = \frac{y}{x} \), тогда \( y = ux \), \( y' = u'x + u \).

Подставим в уравнение:

\[ u'x + u = u - \sqrt{1 + u^2} \]

Упрощаем:

\[ u'x = - \sqrt{1 + u^2} \]

Разделяем переменные:

\[ \frac{du}{\sqrt{1 + u^2}} = - \frac{dx}{x} \]

Интегрируем:

\[ \int \frac{du}{\sqrt{1 + u^2}} = - \int \frac{dx}{x} \]

\[ \ln|u + \sqrt{1 + u^2}| = - \ln|x| + C \]

Упрощаем:

\[ \ln|u + \sqrt{1 + u^2}| + \ln|x| = C \]

\[ \ln|x(u + \sqrt{1 + u^2})| = C \]

\[ x(u + \sqrt{1 + u^2}) = e^C = C_1 \]

Возвращаемся к y:

\[ x\left(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2}\right) = C_1 \]

\[ y + \sqrt{x^2 + y^2} = C_1 \]

Используем начальное условие \( y(1) = 3 \):

\[ 3 + \sqrt{1 + 9} = C_1 \Rightarrow 3 + \sqrt{10} = C_1 \]

Решение задачи Коши:

\[ y + \sqrt{x^2 + y^2} = 3 + \sqrt{10} \]

Можно выразить y явно:

\[ \sqrt{x^2 + y^2} = 3 + \sqrt{10} - y \]

\[ x^2 + y^2 = (3 + \sqrt{10} - y)^2 = (3 + \sqrt{10})^2 - 2(3 + \sqrt{10})y + y^2 \]

\[ x^2 = (3 + \sqrt{10})^2 - 2(3 + \sqrt{10})y \]

\[ 2(3 + \sqrt{10})y = (3 + \sqrt{10})^2 - x^2 \]

\[ y = \frac{(3 + \sqrt{10})^2 - x^2}{2(3 + \sqrt{10})} \]

Решение дифференциальных уравнений и задач Коши

I. Найти общий интеграл

Задача 1: \( y' = y^2 - \frac{y}{x} \)

Задача 2: \( \sqrt{4 + y^2} dx - y dy = x^2 y dy \)

Задача 3: \( \sin y dx - x \cos y dy = \sin^2 y dy \)

II. Решение задачи Коши

Задача 4: \( y' = 1 - y \cdot \tan x; \quad y(0) = 4 \)

Задача 5: \( y - x y' = \sqrt{x^2 + y^2}; \quad y(1) = 3 \)